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数学教案-直线的倾斜角和斜率

汇新范文论文网 http://www.dansinsms.cn 2019-10-09 09:33 出处:网络 编辑:
相关专题: 高二数学教案





教学目标


  (1)了解直线方程的概念.
  (2)正确理解直线倾斜角和斜率。概念.理解。每条直线的倾。斜角是唯一。的,但不是每条直线都存在斜率.
  (3)理解公式的推导过。程,掌握过两点的直线的斜率公式.
  (4)通过直线倾斜角概念的引入和。直线倾斜。角与斜率关系的揭示,培养学生观察、探索能力,运用数。学语言表达能力,数学交流与评价能力.  (5)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结。合思想,培养学生树立辩证统一。的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精。神.



教学建议


1.教材分析


(1)知识结构
  本节内。容首先根据一次函数与其图像——直线的关系导出直线。方程的概念;其次为进一步。研究直线,建立了直线倾斜角的概念,进而建立直线斜率的概念,从而实现了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何。属性向直线的斜率这一代数属性的转变;最后推导出经过两点的直线的斜率公式.这些充分体现了解析几何的思想方法.
(2)重点、难点分析
  ①本节的重点是斜率的概念和斜率公式.直线的斜率是后继内容展开的主线,无论是建。立直线的方程,还是研究两条直线的。位置关系,以及讨论直。线与二次曲线的位置关系,直线的斜率。都发挥着重要作用.因此,正确理解斜率。概。念,熟练掌握斜率公式是学好。这一章的关键.
  ②本节的难点是对斜率概念的理解.学生对于用直线的倾斜。角来刻画直线的方向并不难接受,但是,为什么要定义直线的斜率,为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不容易接受.
2.教法建议
  (1)本节课的教学任务有三大项:倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.学生思维也对应三个高潮:倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建。立.相应。的教学过程(www.www.xxxxx.xxx)也有三个阶。段
  ①在教。学中首先是创设问题情境,然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向,如何定义这个角呢,学生在。讨论中逐渐明确倾斜角的概念.
 ②本节的难点是。对斜率概念的理解.学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向,而且每一。条直线的倾斜角是唯一确定的,而斜率却不这样.学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样。可以数量化吗.再。有,为什么要用倾斜角的正切定义斜率,而不用正弦、余弦或余切哪。?要解决这些问题,就要求教师帮助学生认识。到在直线的方程中体现的不是直线的倾斜角,而是倾斜角的正切,即直线方程(一次函数  的形式,下同)中x的系数恰好就是直线倾斜角的正切.为了便于学。生更好的理解直线斜率的概念,可以借助几何画板设计:
    (1)  α变化→直线变化→  中的系数变化    (同时注意  的变化。).
    (2)  
中的系数变化→直线变化→α变化    (同时注意  的变化).


  运用上述正反两种变化的动态演示充分。揭示直线方程中系。数与倾斜角正切。的内在关系,这对帮助学生理解斜率概念。是极有好处的.
  ③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系,课前要对平面向量,三角。函数等有关内容作一定的复习准备.  ④在学习直线方程的概念时要通过举例清晰地指出两。个条件,最好能用。充要条件叙述直线方程的概念,强化直线与相应方程的对应关系.为将来学习曲线方程做好准备.
  (2)本节内容在教学中宜采用启发引导法和。讨论法,设计为启发、引导、探究、评价的教学模式.学生在积极思维。的基础上,进行充分的讨论、争辩、交流、和评价.倾斜角如。何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式。的建立,这三项教学任务都是在讨论、交流、评价中完成的.在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展.教师的任务是创设问。题情境,引发争论,组织交流,参与评价.


 


教学设计示例


直线的倾斜角和斜率


教学目标:
  (1)了解直线方程的概念,正确理解直线倾斜角和斜率概念,
  (2)理解公式的推导过程,掌握过两点的直线的。斜。率公式.
  (3)。培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.
  (4)帮助学生进一步理解数形结合思。想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
教学重点、难点:直线斜率的概念和公式
教学用具:计算机
教学方法:启发引导法,讨论法


教学过程(w。ww.www.xxxxx.x。xx)


(一)直线方程的概念


   如图1,对于一次函数  ,和它的图像——直线有下面关系:


  (1)有序数对(0,1)满足函数  ,则直线上就有一点A,它的坐标是(0,1).


  (2)反过来,直线上点B(1,3),则有序实数对(1,3)就满足  . 


  一。般地,满足函数式  的每一对的值,都是直线上的点的坐标();


  反之,直线上每一点的坐标(    )都满足函数式  ,因此,一次函。数  的图象是一条直线,它是以满足  的每一对xy的值为坐标的点构成的.


  从方程的角度看,函数  也可以看作是二元一次方程  ,这样满足。一次。函数  的每一对的值“变成了”二元一。次方程  的解,使方程和直线建。立了联系.


  定义:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就。叫做这条直线的方程,这条直线就。叫做这个方程的直线.


  以上定义改用集合表述:的二元一次方程的解为坐标的。集合,记作.若(1)(2),则


  问:你能用充要条件叙述吗?


  答:一条直线是一个方程的直线,或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是…….


(二)直线的倾斜角


【问题1】


  请画出以下三个方程所表示的直线,并。观察它们的异同.


 


  过定点,方向不同.


  如何确定。一条直线?


   两点确定一条直线.
  还有。其他方法吗?或者说如果只给出一点,要确定这条直线还。应增加什么条件?学生:思考、回忆、回。答:这条直线的方向,或者说倾斜程度.


【导入】


  今天我们就共同来研。究如何刻画直。线的方向.


【问题2】
  在坐。标。系中的一条直线,我们用怎样的角来刻画直线的方向呢?讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢?它不仅能解决我们的问题,同。时还应该是简单的、自然的.
  学生:展开讨论.
  学生讨论过程中会有错误和不严谨之处,教师注意引导.
  通过讨论认为:应选择α角来刻画直线的方向.根据三。角函数的知识,表明一。个方。向可以有无穷多个角,这里只需一个角即可(开始时可能有学生认为有四个角或两个角),当然用最小的正角.从而得到直线倾斜角的概念.
【板书】


  定义:一条直线l向上。的方向与轴的正方向所成的最。小正角叫做直线的倾斜角.


  (教师强调三点:(1)直。线向上的方向,(2)轴的正。方向,(3)最。小正角.)


  特别地,当轴平行或重。合时,规定倾斜角为0°.
  由。此定义,角的范围如。何?
  0°≤α。<180°或0≤α<π   如图3


 


  至此问题2已经解决了,回顾一下是怎么解决的.


(三)直线的斜率


【问题3】
  下面我。们在同一坐标系中画出过原点倾。斜角。分别是30°、45°、135°的直线,并。试着写出它们的直线方程.然后观察思考:直线的倾斜角在直线方程中是如何。体现的?


  学生:在练习本上画出直线,写出方程.
   30° ß--à  


  45。° ß--à 


  135°ß--à


  (注:学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难,但对于倾斜角是3。0°可能有困难,此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决.)


【演示。动画】


  观察直线变化,倾斜角变化,直线方程中系数变化。的关系


  (1)  直线变化→α变化→  中的系数变化    (同时注意α的变化).


  (2) 中的x系数k变化→。直线变化→α。变化  。  (同时注意α的变化).


  教师引导学生观察,归纳,猜想出倾斜角与的系数的关系:倾斜角不同,方程中的系数不同,而且这个系数正是倾。斜角的正切!


【板书】


  定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线。的斜率.记作,即 


  这样我们定义了一个从“形。”的方面刻画直线相对于轴(正方向)倾斜程度的量——倾斜角,现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于轴(。正方向)倾斜程度的。量——斜率.


  指出下列直线的倾斜角和斜率:


     (2) tg60°    (3) tg(-30°)


  学生思考后回答,师生一起订正:(1)120°; (2)6。0°;(3)150°(为什么不是。-30°呢?)


画图,指出倾斜角和斜率.
  结合图3(也可以演示动画),观察倾斜角变化时,斜。率的变。化情况.




  注意:当倾斜角为90°时,斜率不存在.


  α。=0°      ß--à    =0


  0°<α<90° ß-。-à    >。0


  α=90°     ß--à   不存在


  90°<。α<180°ß--à  <0


(四)直线过两点斜率公式的推导


【问题4】


 。  如果给定直线的倾斜角,我们当然可以根据斜率的定义  =tgα求出直线的斜率;


  如果给定直线上两点坐标,直线是确定的,倾斜角也是。确定的,斜。率就是确定的,那么。又怎么求出直线的斜率呢?


  即。已知两点P1(x1y1)、P2(x2y2)(其中x1x2),求直线P1P2的斜率.


思路分析:


  首先由学生提出思。路,教师启发、引导:


  运用正切定义,解决问题.


  (1)正切函数定义是什么?(终边上任一点的纵坐标比横坐标.)


  (2)角α是“标准位置”吗?(不是.)


  (3)。如何把角α放在“标准位置”?(平移向量  ,使P1与原点重合,得到新向量  .)


  (4)P的坐标是多少?(x2-x1y2-y1


  (5)直线的斜率是多少?  =tgα=  x1x2


  (6)如果P1 P2的顺序不同,结果还一样吗?(一样).


 


  评价:注意公式中x1x2,即直线P1。 P2不垂直x轴.因此当直线P1P2不垂直x轴时,由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率,而不需要。求出倾斜角.


【练习】


  (1)直线的倾斜角为α,则直线的斜率为  α?


  (2)任意直线有倾斜角,则任意直线都有斜率?


  (3)直线  (-330°)的倾斜角和斜率分别是多少?


  (4)求经过两点  (0,0)、  (-1,  )直线的倾斜角和斜率.


  (5)课本第。37页练习第2、4题.


  教师巡视,观察学生情况,个别辅导,订正答案(答案略).


【总结。】


  教师引导:首先回顾前边。提。出的问题是否都已解决.再看下边的问题:


  (1)直线倾斜角的概念要注意什么?


  (2。)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗?


  (3)已知两点坐。标,如何求直线的斜。率?斜率公式中脚标1和2有顺序吗?


学生边讨论边总结:


  (1)向上的方向,正方向,最小,正角.(2)不是,当α=90°时,α不存在.


  


【作业】


  1.课本第37页习题7.1第3、4、5题.


  2.思考题


  (1)方程  是单位圆的。方。程吗?


  (2)你能说出过原点,倾斜角是45°的直线方程吗?


  (3)你能说出过原。点,斜率是2的直线方程吗?


  (4)你能说。出过(1,1)点,斜率是2的直。线方程吗?


板书设计






7.1直。线的。倾斜角和斜率


一、直线方程


二、直线的倾斜角




三、直线的斜率


四、斜率公式




练习


小结


作业<

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